la géométrie

Les principales propriétés à connaître

Droites
- Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles
- Si A, B et C sont trois points tels que (AB) et (AC) sont parallèles, alors A, B et C sont alignés.
- Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une d’elles, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
Cercle
- Si un point M est sur un cercle de centre O et de rayon r, alors OM = r
- Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit (c’est-à-dire que la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de l’hypoténuse).
- Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors (MA) est perpendiculaire à (MB).
Médiatrice
- Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
- Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
- Si une droite est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB], alors c’est la médiatrice de [AB]
- Si une droite est la médiatrice d’un segment [AB], alors elle est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB].
- Si une droite contient deux points équidistants de A et B, alors c’est la médiatrice de [AB].
- Si une droite est perpendiculaire à (AB) et contient un point équidistant de A et B, alors c’est la médiatrice de [AB].
Parallélogramme
- Si un quadrilatère a des côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux
- Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont même milieu.
- Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.
- Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés de même longueur et parallèles, alors c’est un parallélogramme.
Losange
- Si un quadrilatère a quatre côtés égaux, alors c’est un losange.
- Si un quadrilatère est un losange, alors il a quatre côtés de même longueur.
- Si un quadrilatère a des diagonales perpendiculaires et qui ont le même milieu, alors c’est un losange.
- Si un quadrilatère est un losange, alors il a des diagonales perpendiculaires et qui ont le même milieu.
Rectangle
- Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
- Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a quatre angles droits.
- Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur et qui ont le même milieu, alors c’est un rectangle.
- Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a des diagonales de même longueur et qui ont le même milieu.
Carré
- Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c’est un carré.
- Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
- Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur perpendiculaires et qui ont même milieu, alors c’est un carré.
- Si un quadrilatère est un carré, alors il a des diagonales de même longueur, perpendiculaires et qui ont même milieu.
Triangle- Dans un triangle, la longueur d’un côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
- Si dans un triangle une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.
- Si dans un triangle ABC une droite passe par les milieux (M et N) de deux côtés ([AB] et [AC]), alors elle est parallèle au troisième (BC), de plus MN = ½ BC (théorème de la droite des milieux).
- Si un triangle est rectangle, alors la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de son hypoténuse (théorème de Pythagore).
- Si dans un triangle ABC on a AB² + AC² = BC², alors le triangle est rectangle en A.
- Théorème de Thalès dans le triangle.
- Réciproque du théorème de Thalès.
Angle
- Dans un triangle la somme des angles est égale à 180°.
- Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
- Si deux angles sont alternes-internes formés à partir de droites parallèles, alors ils sont égaux.
- Si deux angles sont correspondants formés par des droites parallèles, alors ils sont égaux.
- Si un triangle ABC est isocèle en A, alors l’angle A est égal à l’angle B.
- Si un triangle est équilatéral, alors il a trois angles égaux à 60°.
- Si l’angle ABC est égal à 180°, alors A, B et C sont alignés.
- Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
- Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.
Angles et cercle
- Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit.
- Si deux angles sont symétriques, alors ils sont égaux.